演算子 （番外編１） 写像

「演算」、「四則演算」、「二項演算」とかの用語をWikiなどで調べていると「写像(mapping)」ということばに頻繁に出くわす。

すぐにそのリンクへ飛んで、その説明を読んでみるが、
いろんな数学的な記号がでてきて、すぐにリタイア。

ちゃんと理解するのは難しそうだったので、いままでスルーしてきたが
「演算」の定義にも深く関係している。

それに、
写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。
現代数学のほとんどが、集合と写像の言葉で書かれているといっても良いほどである。
（wiki)


ということなので、そろそろ、本腰を上げてしらべておいたほうがよさそうだ。

写像とは「像を写す」ことつまり鏡のようなものですね。
代表的なものが、狭い意味の写像の、関数ですね。
２Ｘ＋５という写像は、たとえばＸ＝３という点を１１というところに写し出す鏡です。
（Yahoo知恵袋：「写像」とは）

Xからyへの変換を考えます。
この操作を写像と呼びます。
ここで、yが実数や複素数なら、
この写像を、関数と呼びます。
（はてなQuestion）


ここで思いがけずひろいものがあった。
写像の説明はまさに「関数」だ。

これは数学の「関数」の説明だが、
x (input) → 機能f （function） → y (output)
という説明は、プログラミングの「関数」でも同じだ。
（「関数」はCやJavaでも出てくるが、Mayaでもcos、angleなどの関数がある。）


また、「写像」は「集合」を扱うことでもあるらしい。

写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、
一方の集合の各元に対し一つずつ、他方の集合の元を指定して結びつける対応関係のことである。
（ｗｉｋｉ)

確かブール代数でも集合を扱うので、なんらかの関連があるだろうし、
コンピュータとの理論的な親和性も高いことが考えられる。


おもしろいのが、写像は英語では「Mappingもしくはmap」であるということ。

これをUVマッピングのしくみで考えてみた。
UVマッピングでは、まず画像があり、
そこにUVと呼ばれるオブジェクトの展開図がある。
UVと実際のオブジェクトのサーフェイスは位置情報が一対一で対応している。
結果として、オブジェクト上の対応した一にもとの画像が表示される。

元の画像を「集合A」
オブジェクト上に表示された画像を「集合B」
とするとUVレイアウトは、その対応関係を示しているので、「写像」ということができる。
まさに目に見える「写像」である。